Родился в г. Курске. Здесь учился и окончил городскую школу, затем профессиональное училище (ПУ) № 1, позднее ПУ № 27.
Работал водителем грузовика в «Курскэнерго».
С апреля 1982 г. служба в Советской армии, в Демократической Республике Афганистан, в походных ремонтных мастерских.
Ремонтировал повреждённую в боях технику.
Погиб выполняя боевое задание на горном перевале Саланг.
Похоронен в Курске на Северном кладбище.
Награды: орден Красной Звезды, посмертно.
Имя А.Л. Домашева высечено на памятнике ста пяти погибшим в Афганистане воинам-уроженцам Курской области в Пролетарском сквере города.
На фасаде здания по ул. Садовой, 29, где проживал А. Домашев и здании ПУ №1 (ныне профессиональный лицей №1) по ул. Серафима Саровского установлены мемориальные доски.